Question

【題目】已知函數(shù)f（x）＝exsinx，g（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，

（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)x∈[，π]，證明：f（x）+g（x）（π﹣x）≥0.

Answer 1

【答案】（1）增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）見(jiàn)解析

【解析】

(1) 求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),令可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
(2) 要證，即證sinx﹣（sinx+cosx）（x﹣π）≥0，設(shè)討論其單調(diào)性得到函數(shù)的最小值即可證明.

（1），

當(dāng)，即時(shí)，f′（x）＞0；

當(dāng)，即時(shí)，f′（x）＜0，

故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為；

（2）證明：由（1）知，，

當(dāng)x∈[，π]時(shí)，要證，即證sinx﹣（sinx+cosx）（x﹣π）≥0，

設(shè)，則h′（x）＝﹣（cosx﹣sinx）（x﹣π）﹣sinx＜0，

故函數(shù)h（x）在上為減函數(shù)，

∴h（x）≥h（π）＝0，即sinx﹣（sinx+cosx）（x﹣π）≥0，即得證.