Question

【題目】定義在上的函數(shù)，若滿足:對任意，存在常數(shù)，都有成立，則稱是上的有界函數(shù)，其中稱為函數(shù)的上界

（1）設(shè)，判斷在上是否是有界函數(shù)，若是，說明理由，并寫出所有上界的值的集合；若不是，也請說明理由.

（2）若函數(shù)在上是以為上界的有界函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）是有界函數(shù);（2）

【解析】

（1）分離常數(shù)后,可得函數(shù)的單調(diào)性,在區(qū)間內(nèi)求得最大值與最小值,即可根據(jù)有界函數(shù)的定義求得的取值范圍.

（2）根據(jù)有界函數(shù)定義,可得的值域.代入解析式可分離得的不等式組.利用換元法轉(zhuǎn)化為二次不等式形式,結(jié)合恒成立條件,即可求得的取值范圍.

（1）

則在上單調(diào)遞增

所以對任意滿足

而

所以

若恒成立,則

即所有上界的值的集合為

（2）函數(shù)在上是以為上界的有界函數(shù)

根據(jù)有界函數(shù)定義,可知在上恒成立

所以

即

化簡變形可得

令

則在上恒成立

即滿足

由二次函數(shù)性質(zhì)可知,,當(dāng)時,

,所以當(dāng)時,

即,

故的取值范圍為