Question

【題目】已知橢圓的離心率為，圓經過橢圓C的左、右焦點，．

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）若A，B，D，E是橢圓C上不同四點（其中點D在第一象限），且，直線，關于直線對稱，求直線的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

（1）根據離心率可得，根據圓經過橢圓C的左、右焦點，可得，進而可得方程；

（2）根據對稱性可得，設出的方程，結合韋達定理和對稱性求出的坐標，進而得到的斜率，結合直線平行可求直線的方程．

（1）設，由題意得，

由圓經過橢圓C的左，右焦點，得，

所以，，

所以橢圓C的標準方程為．

（2）由題意可得，且直線的斜率存在，設，，．

把與橢圓方程聯立，

得．

所以，

所以，，

由直線，關于直線對稱，可得直線的斜率為．

用代替k，得，，

．

又，

所以直線的方程為，即．