Question

已知函數(shù)f（x）=1+sinxcosx，g（x）=cos²（x+

π

12

）．
（1）設(shè)（x₀，1）是函數(shù)y=f（x）圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，求g（x₀）的值；
（2）求使函數(shù)h（x）=f（

ωx

2

）+g（

ωx

2

）（ω＞0）在區(qū)間[-

2π

3

，

π

3

]上是增函數(shù)的ω的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),正弦函數(shù)的單調(diào)性,正弦函數(shù)的對(duì)稱性

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）先根據(jù)二倍角公式化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）結(jié)合正弦函數(shù)的對(duì)稱中心，得到方程，再代入函數(shù)g（x）即可得到結(jié)論；
（2）先根據(jù)誘導(dǎo)公式以及輔助角公式求出函數(shù)h（x）的表達(dá)式，再結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可得到答案．

解答： 解：（1）f（x）=1+sinxcosx=1+

1

2

sin2x，g（x）=

1+cos(2x+ π 6 )

2

，
由（x₀，1）是函數(shù)y=f（x）圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，則2x₀=kπ，k∈Z，
則g（x₀）=

1+cos(kπ+ π 6 )

2

=

1+cos π 6

2

（k為偶數(shù)）或

1-cos π 6

2

（k為奇數(shù)），
即有g(shù)（x₀）=

2± 3

4

；
（2）（2）因?yàn)椋篽（x）=f（

ωx

2

）+g（

ωx

2

）
=1+

1

2

sinωx+

1+cos(ωx+ π 6 )

2

=

3

2

+

1

2

sinωx+

1

2

cos（ωx+

π

6

）
=

3

2

+

1

2

sinωx+

1

2

（

3

2

×cosωx-

1

2

sinωx）
=

3

2

+

1

2

（

3

2

cosωx+

1

2

sinωx）
=

3

2

+

1

2

cos（ωx-

π

6

）．
當(dāng)x∈[-

2π

3

，

π

3

]時(shí)，ωx-

π

6

∈[-

2ωπ

3

-

π

6

，

ωπ

3

-

π

6

]．
因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間[-

2π

3

，

π

3

]上是增函數(shù)，
所以須有-

2ωπ

3

-

π

6

≥-π且

ωπ

3

-

π

6

≤0；
解得：ω≤

5

4

且ω≤

1

2

．
故ω的最大值為：

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角公式的應(yīng)用．解決這類問題的關(guān)鍵在于對(duì)公式的熟練掌握以及靈活運(yùn)用．