Question

由函數(shù)確定數(shù)列，.若函數(shù)能確定數(shù)列，，則稱(chēng)數(shù)列是數(shù)列的“反數(shù)列”.
（1）若函數(shù)確定數(shù)列的反數(shù)列為，求；
（2）對(duì)（1）中的，不等式對(duì)任意的正整數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）設(shè)（為正整數(shù)），若數(shù)列的反數(shù)列為，與的公共項(xiàng)組成的數(shù)列為（公共項(xiàng)為正整數(shù)），求數(shù)列的前項(xiàng)和.

Answer 1

（1）；（2）；（3）　　　

解析試題分析：（1）本題實(shí)質(zhì)是求函數(shù)的反函數(shù)；（2）不等式恒成立，因此小于不等式左邊的最小值，所以我們一般想辦法求左邊這個(gè)和，然而由（1）知，這個(gè)和求不出，那么我們只能從另一角度去思考，看的單調(diào)性，這里只要作差就可得出是遞增數(shù)列，所以的最小值是，問(wèn)題解決；（3）看起來(lái)很復(fù)雜，實(shí)質(zhì)上由于和取值只能是0和1，因此我們按的奇偶性分類(lèi)討論，問(wèn)題就簡(jiǎn)化了，例如當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，則，就可求出，從而求出的前項(xiàng)和了．
試題解析：（1），則；4分
（2）不等式化為：，5分
設(shè)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/b2/e/cs5ul.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以單調(diào)遞增，                                    7分
則.因此，即.因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/07/7/1bizd3.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以，得.            10分
（3）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，.       11分
由，則，
即，因此，                      13分
所以                                         14分
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，.                   15分
由得，即，因此，  17分
所以                                   18分
考點(diǎn)：（1）反函數(shù)；（2）數(shù)列的單調(diào)性；（3）分類(lèi)討論，等差數(shù)列與等比數(shù)列的前項(xiàng)和．