Question

【題目】如圖，四邊形PDCE為矩形，四邊形ABCD為梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD＝∠ADC＝90°，，，若M為PA的中點，PC與DE交于點N.

（1）求證：AC∥面MDE；

（2）求證：PE⊥MD；

（3）求點N到平面ABM的距離.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）

【解析】

（1）根據(jù)三角形中位線性質(zhì)得線線平行，再根據(jù)線面平行判定定理得結(jié)果；

（2）先根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理得AD⊥平面PDCE，再根據(jù)線面垂直判斷與性質(zhì)定理證結(jié)果；

（3）利用等體積法，即由VP﹣ABC＝VC﹣PAB求點面距.

（1）證明：連接MN，∵四邊形PDCE為矩形，PC與DE交于點N，∴N為PC的中點，

又M為PA的中點，∴MN∥AC，

而MN平面MDE，AC平面MDE，

∴AC∥面MDE；

（2）證明：∵平面PDCE⊥平面ABCD，平面PDCE∩平面ABCD＝CD，∠ADC＝90°，

∴AD⊥平面PDCE，則AD⊥PE，又PE⊥PD，PD∩AD＝D，

∴PE⊥平面PAD，

則PE⊥MD；

（3）解：∵，，

∴PA＝，則，，

設(shè)C到平面PAB的距離為h，則由VP﹣ABC＝VC﹣PAB，

得，解得h＝，

∵N為PC的中點，∴點N到平面ABM的距離為.