Question

【題目】已知函數(shù)，，（常數(shù)）.

（I）當與的圖象相切時，求的值；

（Ⅱ）設，討論在上零點的個數(shù).

Answer 1

【答案】（I）；（Ⅱ）當時，在上沒有零點；時，在上只有一個零點；時，在上有兩個零點.

【解析】

（I）設出切點的坐標，利用導數(shù)的幾何意義求出過點A 的斜率，寫出切線的點斜式方程，結合待定系數(shù)法，即可求出的值。

（Ⅱ）將變形得到， 當時，，沒有零點；當時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.有最小值 ，對進行討論得出在上零點的個數(shù)。

（I）設切點為，，

所以過點的切線方程為，即，

所以，解得：.

（Ⅱ），設函數(shù)，

在上零點的個數(shù)與在上零點的個數(shù)相同，

當時，沒有零點；

當時，，

時，；時，，

∴在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.

故是在的最小值.

①若，即，在沒有零點；

②若，即，在只有一個零點；

③若，即，由于，所以在上有兩個零點，

綜上，時，在上沒有零點；時，在上只有一個零點；時，在上有兩個零點.