Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）求函數(shù)在點處的切線方程；

（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（3）若存在，使得（是自然對數(shù)的底數(shù)），求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）單調(diào)增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；（3）.

【解析】

試題分析：（1）可得 ，又，得切線方程為；（2）求出，得增區(qū)間，得減區(qū)間；（3）存在，使得成立，等價于當(dāng)時，，所以只要即可.

試題解析：（1）因為函數(shù)，

所以，

又因為，所以函數(shù)在點處的切線方程為．

（2）由（1），，

因為當(dāng)時，總有在上是增函數(shù)．

又，所以不等式的解集為，

故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，遞減區(qū)間為．

（3）因為存在，使得成立，

而當(dāng)時，，

所以只要即可

又因為的變化情況如下表所示：

		0
		0
	減函數(shù)	極小值	增函數(shù)

所以在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，所以當(dāng)時，的最小值．

的最大值為和中的最大值．

因為，

令，因為，

所以在上是增函數(shù)，

而，故當(dāng)時，，即；當(dāng)時，，即．

所以，當(dāng)時，，即，函數(shù)在上是增函數(shù)，解得；當(dāng)時，，即，函數(shù)在上是減函數(shù)，解得．

綜上可知，所求的取值范圍為．