Question

【題目】已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).

(1)若在處取到極小值，求的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若當(dāng)時(shí)， 恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析;（Ⅱ）.

【解析】【試題分析】（1）令可求得的值.利用二階導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)點(diǎn)的單調(diào)區(qū)間.（2）對求導(dǎo)，并對分成，三類討論函數(shù)的最小值，由此求得的取值范圍.

【試題解析】

（Ⅰ）由，得

因?yàn)?/span>，所以，所以

令，則，

當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)遞增，且

所以當(dāng)，.

即當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.

所以函數(shù)在上遞減，在上遞增.

（Ⅱ）【法一】由，得

（1）當(dāng)時(shí)，，在上遞增

（合題意）

（2）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，

①當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，所以，.

在上遞增，（合題意）

②當(dāng)時(shí)，存在時(shí)，滿足

在上遞減，上遞增，故.

不滿足時(shí)，恒成立

綜上所述，的取值范圍是.

【法二】由，發(fā)現(xiàn)

由在恒成立，知其成立的必要條件是

而， ，即

①當(dāng)時(shí)，恒成立，此時(shí)在上單調(diào)遞增，

（合題意）.

②當(dāng)時(shí)，在時(shí)，有，知，

而在時(shí)，，知，

所以在上單調(diào)遞增，即（合題意）

綜上所述，的取值范圍是.