Question

13．數列{a_n}滿足：a₁=1，a₂=3，3a_n+2=2a_n+1+a_n，求a_n．

Answer 1

分析 把已知數列遞推式變形，得到等比數列{a_n+1-a_n}，求其通項公式后，再利用累加法求a_n．

解答 解：由3a_n+2=2a_n+1+a_n，得
3（a_n+2-a_n+1）=-（a_n+1-a_n），
∵a₁=1，a₂=3，
∴a₂-a₁=2≠0，
則數列{a_n+1-a_n}是以2為首項，以-$\frac{1}{3}$為公比的等比數列，
∴${a}_{n+1}-{a}_{n}=2×（-\frac{1}{3}）^{n-1}$．
即${a}_{2}-{a}_{1}=2×（-\frac{1}{3}）^{0}$，
${a}_{3}-{a}_{2}=2×（-\frac{1}{3}）^{1}$，
…
${a}_{n}-{a}_{n-1}=2×（-\frac{1}{3}）^{n-2}$（n≥2）．
上邊n-1個等式相加得：${a}_{n}-{a}_{1}=2[（-\frac{1}{3}）^{0}+（-\frac{1}{3}）^{1}+…+（-\frac{1}{3}）^{n-2}]$
=2×$\frac{1-（-\frac{1}{3}）^{n-1}}{1+\frac{1}{3}}$=$\frac{3}{2}[1-（-\frac{1}{3}）^{n-1}]$．
∴${a}_{n}=\frac{5}{2}+\frac{（-1）^{n}}{{3}^{n-2}}$．

點評 本題考查數列遞推式，考查了等比關系的確定，訓練了類加法求數列的通項公式，是中檔題．