Question

6．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{2}}{2}$-（1+2a）x+$\frac{4a+1}{2}$ln（2x+1），a＞0，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 求得f′（x）=$\frac{（2x-1）（x-2a）}{2x+1}$，通過比較2a與$\frac{1}{2}$的大小，分類討論，利用函數(shù)單調(diào)性與極值之間的關(guān)系即可求得函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

解答 解：函數(shù)f（x）的定義域是（-$\frac{1}{2}$，+∞）；
f′（x）=x-（1+2a）+$\frac{4a+1}{2x+1}$=$\frac{（2x+1）（x-1-2）+4a+1}{2x+1}$=$\frac{（2x-1）（x-2a）}{2x+1}$，
令f′（x）=0，則x=$\frac{1}{2}$或x=2a，
①當(dāng)2a＞$\frac{1}{2}$，即a＞$\frac{1}{4}$時，

x	（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）	$\frac{1}{2}$	（$\frac{1}{2}$，2a）	2a	（2a，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗		↙		↗

所以f（x）的增區(qū)間為（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）和（2a，+∞），減區(qū)間為（$\frac{1}{2}$，2a）；
②當(dāng)2a=$\frac{1}{2}$，即a=$\frac{1}{4}$時，f'（x）=$\frac{{（2x-1）}^{2}}{2x+1}$≥0在（-$\frac{1}{2}$，+∞）上恒成立，
所以f（x）的增區(qū)間為（-$\frac{1}{2}$，+∞）；
③當(dāng)0＜2a＜$\frac{1}{2}$，即0＜a＜$\frac{1}{4}$時：

x	（-$\frac{1}{2}$，2a）	2a	（2a，$\frac{1}{2}$）	$\frac{1}{2}$	（$\frac{1}{2}$，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗		↙		↗

所以f（x）的增區(qū)間為（-$\frac{1}{2}$，2a）和（$\frac{1}{2}$，+∞），減區(qū)間為（2a，$\frac{1}{2}$）；
綜上述：0＜a＜$\frac{1}{4}$時，f（x）的增區(qū)間為（-$\frac{1}{2}$，2a）和（$\frac{1}{2}$，+∞），減區(qū)間為（2a，$\frac{1}{2}$），
a=$\frac{1}{4}$時，f（x）的增區(qū)間為（-$\frac{1}{2}$，+∞）a＞$\frac{1}{4}$時，f（x）的增區(qū)間為（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）和（2a，+∞），減區(qū)間為（$\frac{1}{2}$，2a）．

點(diǎn)評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與單調(diào)性，著重考查求函數(shù)極值的基本步驟，突出化歸思想與分類討論思想的考查，屬于中檔題．