Question

17．已知函數(shù)f（x）=4x+$\frac{a}{x}$+b（a，b∈R）為奇函數(shù)．
（Ⅰ）若f（1）=5，求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）當(dāng)a=-2時(shí)，對任意x∈[1，4]上，函數(shù)y=f（x）的圖象在函數(shù)y=t的圖象的下方，求實(shí)數(shù)t的范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用奇函數(shù)的定義求出b，利用f（1）=5，求出a，即可求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）當(dāng)a=-2時(shí)，f（x）=4x-$\frac{2}{x}$，x∈[1，4]，函數(shù)單調(diào)遞增，求出函數(shù)的最大值，即可求實(shí)數(shù)t的范圍．

解答 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=4x+$\frac{a}{x}$+b（a，b∈R）為奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），即-4x-$\frac{a}{x}$+b=-4x-$\frac{a}{x}$-b，
∴b=0，
∵f（1）=5，
∴4+a=5，
∴a=1，
∴f（x）=4x+$\frac{1}{x}$；
（Ⅱ）當(dāng)a=-2時(shí)，f（x）=4x-$\frac{2}{x}$，x∈[1，4]，函數(shù)單調(diào)遞增，
∴f（x）∈[2，$\frac{31}{2}$]，
∵對任意x∈[1，4]上，函數(shù)y=f（x）的圖象在函數(shù)y=t的圖象的下方，
∴t＞$\frac{31}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的解析式，考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，確定函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．