Question

5．已知點(diǎn)P為曲線(xiàn)C：y=x³-x上一點(diǎn)，曲線(xiàn)C在點(diǎn)P處的切線(xiàn)l₁交曲線(xiàn)C于點(diǎn)Q（異于點(diǎn)P），若直線(xiàn)l₁的斜率為k₁，曲線(xiàn)C在點(diǎn)Q處的切線(xiàn)l₂的斜率為k₂，則4k₁-k₂的值為（　　）

• A． -5
• B． -4
• C． -3
• D． 2

Answer 1

分析 設(shè)P（x₁，x₁³-x₁），求出導(dǎo)數(shù)，求得切線(xiàn)的斜率和方程，聯(lián)立曲線(xiàn)方程，解得交點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)，再求切線(xiàn)l₂的斜率為k₂，計(jì)算即可得到所求．

解答 解：設(shè)P（x₁，x₁³-x₁），
由y=x³-x的導(dǎo)數(shù)y′=3x²-1，
可得切線(xiàn)l₁：y-x₁³+x₁=（3x₁²-1）（x-x₁），
聯(lián)立曲線(xiàn)y=x³-x，解得x=x₁或x=-2x₁，
由題意可得Q的橫坐標(biāo)為-2x₁，
可得切線(xiàn)l₂的斜率k₂=3•（-2x₁）²-1=12x₁²-1，
由4k₁=12x₁²-4，
即有4k₁-k₂=-3．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線(xiàn)方程，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，直線(xiàn)方程的求法，以及聯(lián)立方程求交點(diǎn)，屬于中檔題．