Question

14．已知f（x）=a+$\frac{1}{{2}^{x}-1}$為奇函數(shù)，求常數(shù)a的值及f（x）的值域．

Answer 1

分析 由題意可得f（-1）+f（1）=0，可得a值，再由定義域和反比例函數(shù)以及不等式的性質(zhì)可得函數(shù)的值域．

解答 解：由2^x-1≠0可得x≠0，可得函數(shù)的定義域為{x|x≠0}，
∵f（x）=a+$\frac{1}{{2}^{x}-1}$是奇函數(shù)，∴f（-1）+f（1）=0，
∴a+$\frac{1}{{2}^{-1}-1}$+a+$\frac{1}{{2}^{1}-1}$=0，解得a=$\frac{1}{2}$，
∴f（x）=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{x}-1}$，
∵x≠0，∴2^x＞0且2^x≠1，
∴2^x-1＞-1且2^x-1≠0，
∴$\frac{1}{{2}^{x}-1}$＞0或 $\frac{1}{{2}^{x}-1}$＜-1，
∴$\frac{1}{{2}^{x}-1}$+$\frac{1}{2}$＞$\frac{1}{2}$或 $\frac{1}{{2}^{x}-1}$+$\frac{1}{2}$＜-$\frac{1}{2}$，
∴函數(shù)的值域為（-∞，-$\frac{1}{2}$）∪（$\frac{1}{2}$，+∞）

點評 本題考查函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的值域，屬基礎(chǔ)題．