Question

已知函數(shù)f（x）=1-

5x•a

5x+1

，x∈（b-3，2b）是奇函數(shù)．
（1）求a，b的值；
（2）證明：f（x）是區(qū)間（b-3，2b）上的減函數(shù)；
（3）若f（m-1）+f（2m+1）＞0，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的判斷

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）由于函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，且f（0）有意義，則f（0）=0，定義域關(guān)于原點對稱，列出方程，即可得到a，b；
（2）運用單調(diào)性的定義，注意作差、變形，同時運用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷符號，得到結(jié)論成立；
（3）運用奇函數(shù)的定義和函數(shù)f（x）是區(qū)間（-2，2）上的減函數(shù)，得到不等式組，注意定義域的運用，解出它們即可得到范圍．

解答： （1）解：∵函數(shù)f(x)=1-

a•5x

5x+1

，x∈（b-3，2b）是奇函數(shù)，
∴f(0)=1-

a

2

=0，且b-3+2b=0，
即a=2，b=1．
（2）證明：由（ I）得f(x)=1-

2•5x

5x+1

=

1-5x

5x+1

，x∈（-2，2），
設(shè)任意 x₁，x₂∈（-2，2）且x₁＜x₂，
∴f(x1)-f(x2)=

1-5x1

5x1+1

-

1-5x2

5x2+1

=

2(5x2-5x1)

(5x1+1)(5x2+1)

，
∵x₁＜x₂∴5x1＜5x2∴5x2-5x1＞0
又∵5x1+1＞0，5x2+1＞0
∴

2(5x2-5x1)

(5x1+1)(5x2+1)

＞0，∴f（x₁）＞f（x₂）．
∴f（x）是區(qū)間（-2，2）上的減函數(shù)．
（3）解：∵f（m-1）+f（2m+1）＞0，
∴f（m-1）＞-f（2m+1）
∵f（x）奇函數(shù)∴f（m-1）＞f（-2m-1）
∵f（x）是區(qū)間（-2，2）上的減函數(shù)
∴

m-1＜-2m-1 -2＜m-1＜2 -2＜2m+1＜2

即有

m＜0 -1＜m＜3 - 3 2 ＜m＜ 1 2

∴-1＜m＜0，
則實數(shù)m的取值范圍是（-1，0）．

點評：本題考查函數(shù)的性質(zhì)和運用，考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的定義和判斷，以及運用解不等式，注意定義域，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．