Question

17．設集合A={x|$\frac{1}{4}$≤2^x≤32}，B={x|x²-3mx+（2m+1）（m-1）＜0}．
（1）若m＞2且A∩B≠∅，求m的取值范圍；
（2）若B⊆A，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）化簡集合A，B，判斷集合B的范圍，利用交集不是空集，列出不等式即可求出m的范圍．
（2）化簡集合A={x|-2≤x≤5}，①當B=∅即 m=-2時，滿足條件．②當B≠∅時，分m＜-2和m＞-2兩種情況，分別由B⊆A，求得m的取值范圍，再取并集．

解答 解：化簡集合A={x|-2≤x≤5}，集合B可寫為B={x|（x-m+1）（x-2m-1）＜0}．（2分）
（1）∵m＞2，∴2m-1＞5，1＜m-1＜2m-1，
則B={x|m-1＜x＜2m-1}，
∵A∩B≠∅，∴m-1＜5，可得m＜6，
∴m的取值范圍（2，6）．（6分）
（2），①當B=∅即 m=-2時，B=∅?A；
②當B≠∅即m≠-2時，
（�。┊攎＜-2 時，B=（2m+1，m-1），要B⊆A，
只要 2m+1≥-2，且 m-1≤5，解得-$\frac{3}{2}$≤m≤6，所以m的值不存在；
（ⅱ）當m＞-2 時，B=（m-1，2m+1），要B⊆A，
只要 m-1≥-2，2m+1≤5，解得-1≤m≤2，
綜合知m的取值范圍是：m=-2或-1≤m≤2． （14分）

點評 本題主要考查集合關系中參數(shù)的取值范圍問題，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想．