Question

2．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x（3-x），0≤x≤3}\\{（x-3）（a-x），x＞3}\end{array}\right.$．
（1）求f（2）+f（4）的值；
（2）若y=f（x）在x∈[3，5]上單調(diào)增，在x∈[6，8]上單調(diào)減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）設(shè)函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[3，5]上的最大值為g（a），試求g（a）的表達(dá)式．

Answer 1

分析 （1）由分段函數(shù)代入計(jì)算，可得f（2）和f（4）的值；
（2）求得二次函數(shù)的對稱軸，由題意可得5≤$\frac{a+3}{2}$≤6，解不等式即可得到所求a的范圍；
（3）求出二次函數(shù)的對稱軸，討論區(qū)間和對稱軸的關(guān)系，運(yùn)用單調(diào)性，即可得到所求的最大值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x（3-x），0≤x≤3}\\{（x-3）（a-x），x＞3}\end{array}\right.$，
可得f（2）=2×（3-2）=2，f（4）=（4-3）×（a-3）=a-3，
f（2）+f（4）=a-1；
（2）當(dāng)x＞3時(shí)，f（x）=（x-3）（a-x）=-x²+（a+3）x-3a，
對稱軸為x=$\frac{a+3}{2}$，
由f（x）在x∈[3，5]上單調(diào)增，在x∈[6，8]上單調(diào)減，
可得5≤$\frac{a+3}{2}$≤6，解得7≤a≤9；
（3）當(dāng)x＞3時(shí)，f（x）=（x-3）（a-x）=-x²+（a+3）x-3a，
對稱軸為x=$\frac{a+3}{2}$，
當(dāng)$\frac{a+3}{2}$≤3，即a≤3，區(qū)間[3，5]為減區(qū)間，
x=3時(shí)，取得最大值，即有g(shù)（a）=f（3）=0；
當(dāng)$\frac{a+3}{2}$≥5，即a≥7，區(qū)間[3，5]為增區(qū)間，
x=5時(shí)，取得最大值，即有g(shù)（a）=f（5）=2a-10；
當(dāng)3＜$\frac{a+3}{2}$＜5，即5＜a＜7時(shí)，f（x）在x=$\frac{a+3}{2}$處取得最大值$\frac{（a-3）^{2}}{4}$．
綜上可得g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{0，a≤3}\\{\frac{（a-3）^{2}}{4}，3＜a＜7}\\{2a-10，a≥7}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評 本題考查分段函數(shù)的運(yùn)用：求函數(shù)值和單調(diào)性的判斷和運(yùn)用，考查二次函數(shù)的單調(diào)性和最值的求法，注意運(yùn)用分類討論的思想方法，屬于中檔題．