Question

已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)在軸上，有一個(gè)頂點(diǎn)為，．

（1）求橢圓的方程；

（2）過點(diǎn)作直線與橢圓交于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為,求直線的斜率的取值范圍.

 

Answer 1

（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）首先根據(jù)橢圓有一個(gè)頂點(diǎn)為，可知長(zhǎng)軸，又， 從而得： ，可求出，即可求出橢圓方程.

（2）分直線的斜率存在與不存在分類討論，（1）當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，此時(shí)，；（2）當(dāng)直線的斜率存在且不為零時(shí)，設(shè)直線方程為，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去， 并整理得，利用和點(diǎn)差法即可求出結(jié)果.

【解析】
（1）因?yàn)闄E圓有一個(gè)頂點(diǎn)為，故長(zhǎng)軸，又， 從而得：，，∴橢圓的方程； (3分)

（2）依題意，直線過點(diǎn)且斜率不為零.

（1）當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，此時(shí)，； (4分)

（2）當(dāng)直線的斜率存在且不為零時(shí)，設(shè)直線方程為, (5分)

由方程組

消去， 并整理得，

設(shè),, 又有，則

∴ (7分)

∴ ， ∴，

， (9分)

， .

且 ． (11分)

綜合(1)、(2)可知直線的斜率的取值范圍是：． (12分)

考點(diǎn)：1.橢圓的方程；2.直線與橢圓的位置關(guān)系.