Question

【題目】已知函數(shù)

（1）若存在極值點(diǎn)1，求的值；

（2）若存在兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求證：

Answer 1

【答案】(1) ；(2) 見(jiàn)解析.

【解析】

試題（1）由存在極值點(diǎn)為1，得，可解得a.

(2)是典型的極值點(diǎn)偏移問(wèn)題，先證明,再利用在上的單調(diào)性，即可得證.

試題解析：(1) ，因?yàn)?/span>存在極值點(diǎn)為1，所以，即，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，所以.

(2)

①當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上為增函數(shù)，不符合題意；

②當(dāng)時(shí)，由得，

當(dāng)時(shí)，，所以為增函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，，所為減函數(shù)，

所以當(dāng)時(shí)，取得極小值

又因?yàn)?/span>存在兩個(gè)不同零點(diǎn)，所以，即

整理得，

作關(guān)于直線的對(duì)稱曲線，

令

所以在上單調(diào)遞增，

不妨設(shè)，則，

即，

又因?yàn)?/span>且在上為減函數(shù)，

故，即，又，易知成立，

故.

點(diǎn)晴：本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用，具體涉及到函數(shù)的極值，函數(shù)的極值點(diǎn)偏移問(wèn)題.第一問(wèn)中存在極值點(diǎn)1，所以，解得;第二問(wèn)處理極值點(diǎn)問(wèn)題有兩個(gè)關(guān)鍵步驟：一是在構(gòu)造函數(shù)證明其大于于0恒成立，二是利用在上為減函數(shù) ，兩者結(jié)合即可證明結(jié)論成立.