Question

【題目】已知函數(shù).

(1)若，求函數(shù)的極值；

(2)設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(3)若在區(qū)間上不存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）極小值為；（2）見(jiàn)解析（3）

【解析】試題分析：（1）先求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，再求導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)，列表分析導(dǎo)函數(shù)符號(hào)變化規(guī)律，最后根據(jù)符號(hào)變化規(guī)律確定極值（2）先求導(dǎo)數(shù)，再因式分解，根據(jù)因子符號(hào)確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間（3）先求命題的否定：區(qū)間上存在一點(diǎn),使得成立，轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)函數(shù)最值當(dāng)時(shí)， ，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性確定函數(shù)最值，即得實(shí)數(shù)的取值范圍.最后根據(jù)補(bǔ)集得滿足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍.

試題解析：（I）當(dāng)時(shí)， ，列極值分布表

在（0,1）上遞減，在上遞增，∴的極小值為；

（II）

①當(dāng)時(shí)， 在上遞增；

②當(dāng)時(shí)， ，

∴在上遞減，在上遞增；

（III）先解區(qū)間上存在一點(diǎn),使得成立

在上有解當(dāng)時(shí)，

由（II）知

①當(dāng)時(shí)， 在上遞增， ∴

②當(dāng)時(shí)， 在上遞減，在上遞增

當(dāng)時(shí)， 在上遞增， 無(wú)解

當(dāng)時(shí)， 在上遞減

，∴；

當(dāng)時(shí)， 在上遞減，在上遞增

令，則

在遞減， ， 無(wú)解，

即無(wú)解；

綜上：存在一點(diǎn),使得成立，實(shí)數(shù)的取值范圍為： 或.

所以不存在一點(diǎn)，使得成立，實(shí)數(shù)的取值范圍為.