Question

10．如圖，在三棱錐P-AMC中，AC=AM=PM=2，PM⊥面AMC，AM⊥AC，B，D分別為CM，AC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）在PC上確定一點(diǎn)E，使得直線(xiàn)PM∥平面ABE，并說(shuō)明理由；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，連接AE，與PD相交于點(diǎn)N，求三棱錐B-ADN的體積．

Answer 1

分析 （I）由線(xiàn)面平行的性質(zhì)可知PM∥EB，故E為PC中點(diǎn)；
（II）由AE，PD為△PAC的中線(xiàn)可知N為△PAC的重心，故而ND=$\frac{1}{3}PD$，于是N到底面ACM的距離為$\frac{1}{3}$PM．代入體積公式得出體積．

解答 解：（Ⅰ）E為PC的中點(diǎn)．理由如下：
連接BE，∵B，E分別為CM，PC的中點(diǎn)，
∴BE∥PM，又BE?平面ABE，PM?平面ABE，
∴PM∥面ABE．
（Ⅱ）由于A(yíng)E，PD分別是△PAC的邊PC，AC上的中線(xiàn)，
∴AE和PD的交點(diǎn)N為△PAC的重心，∴DN=$\frac{1}{3}$PD．
∴N到平面AMC的距離h=$\frac{1}{3}PM$=$\frac{2}{3}$．
∵B，D是MC，AC的中點(diǎn)，
∴S_△ABD=$\frac{1}{4}$S_△ACM=$\frac{1}{4}×\frac{1}{2}×2×2=\frac{1}{2}$．
∴V_B-ADN=V_N-ABD=$\frac{1}{3}{S}_{△ABD}•h$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}=\frac{1}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線(xiàn)面平行的判定，棱錐的體積計(jì)算，屬于中檔題．