Question

19．（1）設(shè)中心在原點(diǎn)的橢圓與雙曲線2x²-2y²=1有公共的焦點(diǎn)，且它們的離心率互為倒數(shù)，求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）求以橢圓3x²+13y²=39的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)，以直線y=±$\frac{x}{2}$為漸近線的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

分析 （1）求出橢圓的焦點(diǎn)和離心率即可得到結(jié)論．
（2）根據(jù)雙曲線和橢圓的關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）∵雙曲線2x²-2y²=1的離心率為$\sqrt{2}$，
∴所求橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
又焦點(diǎn)為（±1，0），∴所求橢圓的方程為$\frac{x^2}{2}$+y²=1．（4分）
（2）橢圓3x²+13y²=39可化為$\frac{x^2}{13}$+$\frac{y^2}{3}$=1，
其焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±$\sqrt{10}$，0），
∴所求雙曲線的焦點(diǎn)為（±$\sqrt{10}$，0），
設(shè)雙曲線方程為：$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）
∵雙曲線的漸近線為y=±$\frac{1}{2}$x，
∴$\frac{a}$=$\frac{1}{2}$，∴$\frac{b^2}{a^2}$=$\frac{{{c^2}-{a^2}}}{a^2}$=$\frac{{10-{a^2}}}{a^2}$=$\frac{1}{4}$，
∴a²=8，b²=2，
即所求的雙曲線方程為：$\frac{x^2}{8}-\frac{y^2}{2}=1$．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查橢圓和雙曲線的方程和性質(zhì)，根據(jù)橢圓和雙曲線焦點(diǎn)之間的關(guān)系建立方程關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．