Question

如圖，四棱錐的底面為一直角梯形，側(cè)面PAD是等邊三角形，其中，,平面底面，是的中點(diǎn)．

(1)求證://平面；

(2)求與平面BDE所成角的余弦值；

(3)線段PC上是否存在一點(diǎn)M，使得AM⊥平面PBD，如果存在，求出PM的長(zhǎng)度；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

（1）詳見(jiàn)解析；（2）cosCBN= ；（3）不存在點(diǎn)M滿(mǎn)足題意.

【解析】

試題分析：（1）證明BE∥平面PAD，只需證明AF∥BE；
（2）過(guò)C作DE的垂線，交DE的延長(zhǎng)線于N，連接BN，證明∠CBN就是直線BC與平面BDE所成角，從而可求BC與平面BDE所成角的余弦值；

（3）假設(shè)PC上存在點(diǎn)M，使得AM⊥平面PBD，則AM⊥PD，可得點(diǎn)M與E重合．取CD中點(diǎn)G，連接EG，AG，則BD⊥AG，證明PD⊥平面BCD，從而PD⊥AD，這與△PAD是等邊三角形矛盾．

試題解析：(1)取PD中點(diǎn)F，連接AF, EF

則,

又，

∴

∴

∴四邊形ABEF是平行四邊形                2分

∴AF∥BE   又平面PAD，平面PAD

∴//平面                                      4分

（2）過(guò)C作DE的垂線，交DE的延長(zhǎng)線于N，連接BN

∵平面底面，

∴平面

∴AF   又AF⊥PD，

∴AF⊥平面PCD

∴BE⊥平面PCD

∴BE⊥CN，又CN⊥DE，

∴CN⊥平面BDE

∴CBN就是直線與平面BDE所成角                7分

令A(yù)D=1，,易求得，

∴sinCBN=

∴cosCBN=

故與平面BDE所成角的余弦值為                         9分

（3）假設(shè)PC上存在點(diǎn)M，使得AM⊥平面PBD  則AM⊥PD,由（2）AF⊥PD

∴PD⊥平面AFM，又PD⊥平面ABEF

故點(diǎn)M與E重合。                  1分

取CD中點(diǎn)G，連接EG,AG

易證BD⊥AG，又BD⊥AE

∴BD⊥平面AEG

∴BD⊥EG

∴BD⊥PD,又PD⊥CD

∴PD⊥平面BCD

從而PD⊥AD,這與⊿PAD是等邊三角形矛盾

（另解坐標(biāo)法）

證明：取AD中點(diǎn)O，連接PO∵側(cè)面PAD是等邊三角形 ∴PO⊥AD

又∵平面底面， ∴PO⊥平面ABCD              2分

設(shè)，如圖建立空間坐標(biāo)系，則

，,

，.           3分

（1），，

所以，

∵平面，∴平面.                      5分

（2），

設(shè)平面的一個(gè)法向量為

則    求得平面的一個(gè)法向量為；    7分

，                          8分

所以直線與平面所成角的余弦值為。   10分

（3）設(shè)存在點(diǎn)M(滿(mǎn)足AM⊥平面PBD，則M、P、C三點(diǎn)共線

因?yàn)?sub>，所以存在實(shí)數(shù)，使得

即                   11分

∵AM⊥平面PBD   ∴       得（不合題意）

故在線段上不存在點(diǎn)M滿(mǎn)足題意。                                14分

考點(diǎn)：(1)空間的位置關(guān)系的證明；（2）線面角的求法；（3）向量在立體幾何中的應(yīng)用.