Question

15．（Ⅰ）設(shè)不等式-2＜|x-1|-|x+2|＜0的解集為M，a，b∈M．　證明：|$\frac{1}{3}$a+$\frac{1}{6}$b|＜$\frac{1}{4}$；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）=|2x+1|+|2x-3|，關(guān)于x的不等式f（x）-log₂（a²-3a）＞2恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）令h（x）=|x-1|-|x+2|，通過討論x的范圍求出M，從而證明不等式即可；
（Ⅱ）問題轉(zhuǎn)化為|2x+1|+|2x-3|＞${log}_{2}^{{（a}^{2}-3a）}$+2，求出|2x+1|+|2x-3|的最小值，解出a的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）記h（x）=|x-1|-|x+2|=$\left\{\begin{array}{l}{3，x≤-2}\\{-2x-1，-2＜x＜1}\\{-3，x≥1}\end{array}\right.$，
由-2＜-2x-1＜0，解得：-$\frac{1}{2}$＜x＜$\frac{1}{2}$，
則M={x|-$\frac{1}{2}$＜x＜$\frac{1}{2}$}，
所以|$\frac{1}{3}$a+$\frac{1}{6}$b|≤$\frac{1}{3}$|a|+$\frac{1}{6}$|b|＜$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{6}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}$；
（Ⅱ）不等式f（x）-${log}_{2}^{{（a}^{2}-3a）}$＞2
等價(jià)于|2x+1|+|2x-3|＞${log}_{2}^{{（a}^{2}-3a）}$+2，
|2x+1|+|2x-3|≥|2x+1-2x+3|=4，
于是4＞${log}_{2}^{{（a}^{2}-3a）}$+2，即$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-3a＞0}\\{{a}^{2}-3a＜4}\end{array}\right.$，
∴-1＜a＜0或3＜a＜4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解絕對(duì)值不等式問題，考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，是一道中檔題．