Question

4．已知實(shí)數(shù)a、b常數(shù)，若函數(shù)y=$\frac{a|x-1|}{x+2}$+be^2x+1的圖象在切點(diǎn)（0，$\frac{1}{2}$）處的切線方程為3x+4y-2=0，y=$\frac{a|x-1|}{x+2}$+be^2x+1與y=k（x-1）³的圖象有三個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（-∞，-$\frac{1}{4}$）∪（0，+∞）．

Answer 1

分析 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出a，b的值，利用數(shù)形結(jié)合判斷兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)進(jìn)行求解即可．

解答 解：當(dāng)x＜1時(shí)，函數(shù)y=$\frac{a|x-1|}{x+2}$+be^2x+1=$\frac{a（1-x）}{x+2}$+be^2x+1，
則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=$\frac{-3a}{（x+2）^{2}}$+2be^2x+1，
∵若函數(shù)y=y=$\frac{a|x-1|}{x+2}$+be^2x+1的圖象在切點(diǎn)（0，$\frac{1}{2}$）處的切線方程為3x+4y-2=0，
∴f（0）=$\frac{1}{2}$，且f′（0）=-$\frac{3}{4}$，
即$\frac{1}{2}$a+be=$\frac{1}{2}$，-$\frac{3}{4}$a+2be=-$\frac{3}{4}$，得a=1，b=0，
即y=$\frac{a|x-1|}{x+2}$+be^2x+1=$\frac{|x-1|}{x+2}$，
由$\frac{|x-1|}{x+2}$=k（x-1）³得當(dāng)x=1時(shí)，方程成立，
當(dāng)x≠1時(shí)，若x＞1得$\frac{x-1}{x+2}$=k（x-1）³得$\frac{1}{x+2}$=k（x-1）²，
若x＜1得-$\frac{x-1}{x+2}$=k（x-1）³得-$\frac{1}{x+2}$=k（x-1）²，
若k=0，則兩個(gè)方程無(wú)解，
若k＞0時(shí)，作出對(duì)應(yīng)函數(shù)的圖象如右圖：
此時(shí)滿足當(dāng)x＞1時(shí)，有一個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)x＜1時(shí)，有一個(gè)交點(diǎn)，
此時(shí)滿足兩個(gè)函數(shù)共有3個(gè)交點(diǎn)．
若k＜0時(shí)，作出對(duì)應(yīng)函數(shù)的圖象如圖：
此時(shí)滿足當(dāng)x＞1時(shí)，沒(méi)有交點(diǎn)，
當(dāng)x＜1時(shí)，則需要有2個(gè)交點(diǎn)，
由-$\frac{1}{x+2}$=k（x-1）²，
得k（x+2）（x-1）²+1=0，x＜1，
設(shè)g（x）=k（x+2）（x-1）²+1，
則g′（x）=3k（x-1）（x+1），x＜1，k＜0，
由g′（x）=0，x=-1，
當(dāng)x＜-1時(shí)，g′（x）＜0，
當(dāng)-1＜x＜1時(shí)，g′（x）＞0，
即當(dāng)x=-1函數(shù)取得極小值g（-1）=4k+1，
要使當(dāng)x＜1時(shí)，則g（x）要有2個(gè)交點(diǎn)，
則極小值g（-1）=4k+1＜0，得k＜-$\frac{1}{4}$，
此時(shí)滿足兩個(gè)函數(shù)共有3個(gè)交點(diǎn)．
綜上k的取值范圍是k＞0或k＜0，
故答案為：（-∞，-$\frac{1}{4}$）∪（0，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出a，b的值，利用數(shù)形結(jié)合作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．