Question

12．設(shè)函數(shù)f（x）滿足x³f′（x）+3x²f（x）=1+lnx，且f（$\sqrt{e}$）=$\frac{1}{2e}$，則x＞0時，f（x）（　�。�

• A． 有極大值，無極小值
• B． 有極小值，無極大值
• C． 既有極大值又有極小值
• D． 既無極大值也無極小值

Answer 1

分析 令g（x）=x³f（x），利用導(dǎo)數(shù)的運算法則，構(gòu)造新函數(shù)，確定函數(shù)的解析式，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)極值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，即可求得結(jié)論．

解答 解：∵令g（x）=x³f（x），
則g′（x）=3x²f（x）+x³f′（x）=1+lnx，
∴g（x）=x•lnx+c，
∵f（$\sqrt{e}$）=$\frac{1}{2e}$，
∴（$\sqrt{e}$）³f（$\sqrt{e}$）=（$\sqrt{e}$）³•$\frac{1}{2e}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{e}$，
即g（$\sqrt{e}$）=$\sqrt{e}$•ln$\sqrt{e}$+c=$\frac{1}{2}$$\sqrt{e}$，
則$\frac{1}{2}$$\sqrt{e}$+c═$\frac{1}{2}$$\sqrt{e}$，得c=0，
則g（x）=x•lnx，
即g（x）=x³f（x）=x•lnx，
則f（x）=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$，
當(dāng)x＞0時，f′（x）=$\frac{1-2lnx}{{x}^{3}}$，
由f′（x）=0得1-2lnx=0，得x=$\sqrt{e}$，
當(dāng)f′（x）＜0時得，x＞$\sqrt{e}$，
當(dāng)f′（x）＞0時得，0＜x＜$\sqrt{e}$，
當(dāng)x=$\sqrt{e}$時，函數(shù)f（x）取得極大值，同時也是最大值f（$\sqrt{e}$）=$\frac{ln\sqrt{e}}{（\sqrt{e}）^{2}}=\frac{\frac{1}{2}}{e}$=$\frac{1}{2e}$，無最小值，
故選：A

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查學(xué)生分析解決問題的能力，構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和解析式是解決本題的關(guān)鍵．難度較大．