Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）當時，若函數(shù)在上的最小值為0，求的值；

（3）當時，若函數(shù)在上既有最大值又有最小值，且恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）或；（3）或.

【解析】

（1）將代入函數(shù)解析式，去掉絕對值符號，將函數(shù)寫出分段函數(shù)的形式，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性，寫出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；

（2）將函數(shù)解析式化為分段函數(shù)的形式，對的范圍進行討論，從而確定函數(shù)的最小值點，相互對照，求得結(jié)果；

（3）首先根據(jù)題意，判斷出函數(shù)在區(qū)間上存在最值的條件，利用恒成立，轉(zhuǎn)化得出對應(yīng)的不等關(guān)系，進而求得其范圍.

（1）當時，

由二次函數(shù)單調(diào)性知在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞減，

∴的單調(diào)遞減區(qū)間為

（2）

當時，在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，

（i）當即時，

∴（舍去）

（ii）由得

當，即時，

∴，符合題意.

（iii）當，即時，

∴，符合題意.

綜上所述，或.

（3）當時，由，可知

由可知

要使恒成立

∵

又∵

∴，∴

∴或.