Question

【題目】已知點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)，，是上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且.

（1）判斷點(diǎn)是否在直線上？說(shuō)明理由；

（2）設(shè)點(diǎn)是△的外接圓的圓心，求點(diǎn)的軌跡方程.

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)在直線上，理由見(jiàn)解析（2）

【解析】

（1）由拋物線的方程可得頂點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)直線的方程，與拋物線聯(lián)立求出兩根之和及兩根之積，求出數(shù)量積，再由題意可得直線恒過(guò)，即得在直線上；

（2）設(shè)，的坐標(biāo)，可得直線，的斜率及線段，的中點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出線段，的中垂線的方程，兩個(gè)方程聯(lián)立求出外接圓的圓心的坐標(biāo)，由（1）可得的橫縱坐標(biāo)關(guān)于參數(shù)的表達(dá)式，消參數(shù)可得的軌跡方程．

(1) 點(diǎn)在直線上.理由如下，

由題意, 拋物線的頂點(diǎn)為

因?yàn)橹本�與拋物線有2個(gè)交點(diǎn)，

所以設(shè)直線AB的方程為

聯(lián)立得到，

其中，

所以，

因?yàn)?/span>

所以

，

所以，

解得，

經(jīng)檢驗(yàn)，滿足，

所以直線AB的方程為，恒過(guò)定點(diǎn).

（2）因?yàn)辄c(diǎn)是的外接圓的圓心，所以點(diǎn)是三角形三條邊的中垂線的交點(diǎn)，

設(shè)線段的中點(diǎn)為，線段的中點(diǎn)為為，

因?yàn)?/span>，設(shè)，，，

所以，，，，，，

所以線段的中垂線的方程為：，

因?yàn)?/span>在拋物線上，所以，

的中垂線的方程為：，即，

同理可得線段的中垂線的方程為：，

聯(lián)立兩個(gè)方程，解得，

由（1）可得，，

所以，，

即點(diǎn)，所以，

即點(diǎn)的軌跡方程為：．