Question

4．用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．
（1）x^y=y^x；
（2）y=（cosx）^sinx．

Answer 1

分析 根據(jù)取對(duì)數(shù)法，先進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后根據(jù)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，進(jìn)行求導(dǎo)即可．

解答 解：（1）∵x^y=y^x；
∴l(xiāng)nx^y=lny^x；
即ylnx=xlny，
求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)得：
y′lnx+$\frac{y}{x}$=lny+$\frac{x}{y}$y′
然后移項(xiàng)可以得到y(tǒng)′（lnx-$\frac{x}{y}$）=lny-$\frac{y}{x}$，
即y′=$\frac{lny-\frac{y}{x}}{lnx-\frac{x}{y}}$=$\frac{xylny-{y}^{2}}{xylnx-{x}^{2}}$
（2）∵y=（cosx）^sinx．
∴l(xiāng)ny=ln（cosx）^sinx=sinxlncosx，
求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)得$\frac{1}{y}$•y′=cosxlncosx+sinx$\frac{1}{cosx}$•（-sinx）=cosxlncosx-$\frac{si{n}^{2}x}{cosx}$，
則y′=（cosxlncosx-$\frac{si{n}^{2}x}{cosx}$）y=（cosxlncosx-$\frac{si{n}^{2}x}{cosx}$）•（cosx）^sinx．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，利用取對(duì)數(shù)法，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式是解決本題的關(guān)鍵．