Question

14．已知直線l：ax+by+c=0和點(diǎn)P（x₀，y₀），點(diǎn)P到直線l的有向距離d（P，l）用如下方法定義：若b≠0，d（P，l）=$\frac{|b||a{x}_{0}+b{y}_{0}+c|}{b\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$，若b=0，d（P，l）=$\frac{a{x}_{0}+c}{a}$．
（1）已知直線l：3x-4y+12=0，求原點(diǎn)O到直線l的有向距離d（O，l）；
（2）求點(diǎn)A（-5，6）到直線m：2x+3=0的有向距離d（A，m）；
（3）已知點(diǎn)A（2，1）和點(diǎn)B（3，-1），是否存在通過(guò)點(diǎn)A的直線l，使得d（B，l）=2？如果存在，求出所有這樣的直線l，如果不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）利用有向距離的定義可得：d（O，l）=$\frac{|-4||0+0+12|}{-4\sqrt{{3}^{2}+（-4）^{2}}}$，或d（O，l）=$\frac{|-4||0+0+12|}{4\sqrt{{3}^{2}+（-4）^{2}}}$；
（2）利用有向距離的定義可得d（A，m）=$\frac{2×（-5）+3}{2}$；
（3）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為：x-2=0，此時(shí)d（B，l）=1≠2，舍去；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，直線l的方程為：y-1=k（x-2），化為-kx+y-1+2k=0，假設(shè)d（B，l）=±$\frac{|1||-3k-1-1+2k|}{1×\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，解出即可．

解答 解：（1）d（O，l）=$\frac{|-4||0+0+12|}{-4\sqrt{{3}^{2}+（-4）^{2}}}$=-$\frac{12}{5}$，或d（O，l）=$\frac{|-4||0+0+12|}{4\sqrt{{3}^{2}+（-4）^{2}}}$=$\frac{12}{5}$；
（2）∵b=0，∴點(diǎn)A（-5，6）到直線m：2x+3=0的有向距離d（A，m）=$\frac{2×（-5）+3}{2}$=-$\frac{7}{2}$；
（3）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為：x-2=0，此時(shí)d（B，l）=$\frac{1×3-2}{1}$=1≠2，舍去；
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，直線l的方程為：y-1=k（x-2），化為-kx+y-1+2k=0，假設(shè)d（B，l）=$\frac{|1||-3k-1-1+2k|}{1×\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，或d（B，l）=-$\frac{|1||-3k-1-1+2k|}{1×\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2；
分別化為3k²-4k=0，或無(wú)解．
解得k=0或$\frac{4}{3}$．
∴存在直線l的方程為：y-1=0，或4x-3y-5=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了新定義“有向距離”、點(diǎn)到直線的距離公式，考查了分類(lèi)討論、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．