Question

5．已知函數f（x）=|ax+b|（a，b∈R且a≠0）．
（1）討論f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最大值D；
（2）若D≤1，求點（a，b）所在平面區(qū)域的面積S．

Answer 1

分析 （1）可考慮去絕對值，對f（x）=|ax+b|兩邊平方得到，f²（x）=a²x²+2abx+b²，可設g（x）=f²（x），g（x）便是二次函數，從而可討論對稱軸和區(qū)間[-1，1]的關系：分成$-\frac{a}≤-1$，$-1＜-\frac{a}≤0$，$0＜-\frac{a}＜1$，和$-\frac{a}≥1$四種情況，然后根據g（x）在[-1，1]的單調性或通過比較端點值的大小，從而求出g（x）的最大值，進而便可求出f（x）的最大值D=$\left\{\begin{array}{l}{|a+b|}&{-\frac{a}≤0}\\{|a-b|}&{-\frac{a}＞0}\end{array}\right.$；
（2）根據求得的最大值D的表達式，在該分段函數的每一段里，找出滿足D≤1的點（a，b）所在的平面區(qū)域，然后求出平面區(qū)域的面積即可．

解答 解：（1）f²（x）=a²x²+2abx+b²，設g（x）=a²x²+2abx+b²，a²＞0，該函數的對稱軸為x=$-\frac{a}$；
①若$-\frac{a}≤-1$，則g（x）在[-1，1]上單調遞增；
∴g（x）的最大值為g（1）=（a+b）²；
∴f（x）的最大值D=|a+b|；
②若$-1＜-\frac{a}≤0$，g（-1）=（a-b）²≤（a+b）²；
∴g（x）的最大值為（a+b）²；
∴f（x）的最大值D=|a+b|；
③若$0＜-\frac{a}＜1$，則g（-1）＞g（1）；
∴g（x）的最大值為（a-b）²；
∴f（x）的最大值D=|a-b|；
④若$-\frac{a}≥1$，則g（x）在[-1，1]上單調遞減；
∴g（x）的最大值為g（-1）=（a-b）²；
∴f（x）的最大值D=|a-b|；
∴$D=\left\{\begin{array}{l}{|a+b|}&{-\frac{a}≤0}\\{|a-b|}&{-\frac{a}＞0}\end{array}\right.$；
（2）根據上面求得的D：
①$-\frac{a}≤0$時，D=|a+b|；
a＞0時，b≥0，a＜0時，b≤0；
又|a+b|≤1；
即-1≤a+b≤1；
所以不等式組$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{a}≤0}\\{-1≤a+b≤1}\end{array}\right.$表示的平面區(qū)域，如下圖陰影部分所示：

∴點（a，b）所在平面區(qū)域的面積S=1；
②$-\frac{a}＞0$時，D=|a-b|；
a＞0時，b＜0，a＜0時，b＞0，且|a-b|≤1；
即-1≤a-b≤1；
∴不等式組$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{a}＞0}\\{-1≤a-b≤1}\end{array}\right.$表示的平面區(qū)域如下圖陰影部分所示：

∴點（a，b）所在平面區(qū)域的面積S=1．

點評 考查含絕對值函數的處理方法：函數解析式兩邊平方，二次函數的對稱軸，二次函數的單調性，以及根據單調性定義或比較端點值求二次函數在閉區(qū)間上的最大值的方法，能找出不等式組所表示的平面區(qū)域．