Question

12．如圖，四邊形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，DF⊥AC于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F．求證：AB•DF=AD•BD．

Answer 1

分析 作出四邊形ABCD的外接圓，利用圓的性質(zhì)證明△ABD∽△ADF，得出結(jié)論．

解答 解：∵∠ABC=∠ADC=90°，∴∠BAD+∠BCD=180°
∴四邊形ABCD圓內(nèi)接四邊形，不妨設(shè)四邊形ABCD的外接圓為圓O，則AC為圓O的直徑．
延長(zhǎng)DF交圓O于G，
∵DF⊥AC，∴$\widehat{AG}=\widehat{AD}$，∴∠ABD=∠ADG，
又∵∠BAD為公共角．
∴△ABD∽△ADF．
∴$\frac{AB}{AD}=\frac{BD}{DF}$，
∴AB•DF=AD•BD．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓的性質(zhì)，相似三角形，屬于中檔題．