Question

19．已知函數(shù)f（x）=ax-lnx．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調性；
（2）若f（x）＞1，在區(qū)間（1，+∞）內恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調區(qū)間即可；
（2）問題轉化為a＞$\frac{1+lnx}{x}$在區(qū)間（1，+∞）恒成立，設g（x）=$\frac{1+lnx}{x}$，根據(jù)函數(shù)的單調性求出a的范圍即可．

解答 解：（1）f（x）的定義域是（0，+∞），
f′（x）=a-$\frac{1}{x}$=$\frac{ax-1}{x}$，
①a≤0時，f′（x）≤0，f（x）在（0，+∞）遞減；
②a＞0時，由f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{1}{a}$，
由f′（x）＜0，解得：0＜x＜$\frac{1}{a}$，
故f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）遞減，在（$\frac{1}{a}$，+∞）遞增；
（2）由f（x）＞1，得ax-lnx-1＞0，
即a＞$\frac{1+lnx}{x}$在區(qū)間（1，+∞）恒成立，
設g（x）=$\frac{1+lnx}{x}$，則g′（x）=-$\frac{lnx}{{x}^{2}}$，
∵x＞1，∴g′（x）＜0，
故g（x）在（1，+∞）遞減，
即$\frac{1+lnx}{x}$＜1在區(qū)間（1，+∞）恒成立，
故a≥1．

點評 本題考查了函數(shù)的單調性問題，考查函數(shù)恒成立以及分類討論思想，是一道中檔題．