Question

已知中心在原點的橢圓C的兩個焦點和橢圓C₁：4x²+9y²=36的兩個焦點是一個正方形的四個頂點，且橢圓C過點A（2，3）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若PQ是橢圓C的弦，O是坐標(biāo)原點，OP⊥OQ，且點P的坐標(biāo)為（

2

，2

3

），求點Q的坐標(biāo)．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由橢圓C₁：4x²+9y²=36化為

x2

9

+

y2

4

=1，可得兩個焦點(±

5

，0)．由于橢圓C的兩個焦點和橢圓C₁：4x²+9y²=36的兩個焦點是一個正方形的四個頂點，因此可得橢圓C的兩個焦點為(0，±

5

)．可設(shè)橢圓C的方程為：

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)．把點A（2，3）代入橢圓方程，并利用a²=b²+5即可得出．
（2）設(shè)Q（x₀，y₀），由于

OP

⊥

OQ

，可得

2

x0+2

3

y0=0．又

y 2 0

15

+

x 2 0

10

=1，聯(lián)立解得即可．

解答： 解：（1）由橢圓C₁：4x²+9y²=36化為

x2

9

+

y2

4

=1，可得兩個焦點(±

5

，0)．
∵橢圓C的兩個焦點和橢圓C₁：4x²+9y²=36的兩個焦點是一個正方形的四個頂點，
∴橢圓C的兩個焦點為(0，±

5

)．
可設(shè)橢圓C的方程為：

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)．
又橢圓C過點A（2，3），∴

9 a2 + 4 b2 =1 a2=b2+5

，解得b²=10，a²=15．
∴橢圓C的方程為

y2

15

+

x2

10

=1．
（2）設(shè)Q（x₀，y₀），∵

OP

⊥

OQ

，
∴

2

x0+2

3

y0=0．
又

y 2 0

15

+

x 2 0

10

=1，聯(lián)立解得

x0=3 y0=- 6 2

或

x0=-3 y0= 6 2

∴Q(3，-

6

2

)或(-3，

6

2

)．

點評：本題考查了橢圓的標(biāo)準方程及其性質(zhì)、向量與數(shù)量積的關(guān)系、正方形的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．