Question

【題目】已知數(shù)列的前項和為，滿足，且，正項數(shù)列滿足，其前7項和為42．

（1）求數(shù)列和的通項公式；

（2）令，數(shù)列的前項和為，若對任意正整數(shù)，都有，求實數(shù)的取值范圍；

（3）將數(shù)列的項按照“當為奇數(shù)時，放在前面；當為偶數(shù)時，放在前面”的要求進行排列，得到一個新的數(shù)列：，求這個新數(shù)列的前項和．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3），

【解析】

試題分析：（1）由已知得數(shù)列是等差數(shù)列，從而易得的通項公式，求得，利用求得，再求得可得數(shù)列通項，利用已知可得，又得是等差數(shù)列，由等差數(shù)列的基本量法可求得；（2）代入得，變形后得，從而易求得和，于是有，只要求得的最大值即可得的最小值，從而得的范圍，研究的單調(diào)性可得；（3）根據(jù)新數(shù)列的構(gòu)造方法，在求新數(shù)列的前項和時，對分類：，和()三類，可求解．

試題解析：（1）∵，∴數(shù)列是首項為1，公差為的等差數(shù)列，

∴，即，

∴，

又，∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分

∵，∴，又，∴，∴數(shù)列是等差數(shù)列，且公差為，設(shè)的前項和為，

∵，∴，∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

（2）由（1）知，

∴

，

∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分

設(shè)，則，

∴數(shù)列為遞增數(shù)列，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分

∴，

∵對任意正整數(shù)，都有恒成立，∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

（3）數(shù)列的前項和，數(shù)列的前項和，

①當時，；

②當時，，

特別地，當時，也符合上式；

③當時，．

綜上：，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．16分