Question

如圖，菱形ABCD中，∠DAB=，AC∩BD=O，PO⊥平面ABCD，PO=AD=，點E在PD上，PE：ED=3：1.

(Ⅰ)證明：PD⊥平面EAC；

(Ⅱ)求二面角A-PD-C的余弦值；

(Ⅲ)求點B到平面PDC的距離.

Answer 1

解法一：(Ⅰ)∵PO⊥平面ABCD，∴OD為PD在平面ABCD內的陰影

又ABCD為菱形，∴AC⊥OD,∴AC⊥PD,即PD⊥AC

在菱形ABCD中，∵∠DAB=60°

∴OD=AO·cot60°=1

在Rt△POD中，PD==2,由PE:ED=3:1,

得OE=P D=,又∠PDO=6   0°,

∴OE²=OD²+DE²-2OD·DEcos60°=

∴OE²+DE²=OD², ∴∠OED=90°,即PD⊥OE

(Ⅱ)由(Ⅰ)知PD⊥EA，PD⊥EC，則∠AEC為二面角A-PD-C的平面角

tan∠AEO==2,易知OE為AC的垂直平分線，所以∠AEC=2∠AEO,

∴cos∠AEC=cos²∠AEO-sin²∠AEO

=

= 

(Ⅲ)由O為BD中點，知點B到平面PDC的距離等于點O到平面PDC距離的2倍，由(Ⅰ)知，平面OEC⊥平面PDC，作OH⊥CE，垂足為H，則OH⊥平面PDC，在Rt△OEC中，∠EOC=90°,OC=,OE=,

∴OH=

所以點B到平面PDC的距離為.

解法二：建立如圖所示的坐標系O-xyz,其中A(0,-,0),B(1,0,0),C(0,,0),D(-1,0,0),

P(0,0,).

(Ⅰ)由PE:ED=3:1,知E(-)

∵=(1，0，)，=(-)， =(0，2，0)

∴·=·=0

∴PD⊥OE,PD⊥AC,∴PD⊥平面EAC 

(Ⅱ)由(Ⅰ)知PD⊥EA,PD⊥EC,則∠AEC為二面角A-PD-C的平面角

∴=()=()

∴cos∠AEC=cos〈,〉==- 

(Ⅲ)由O為BD中點知，點B到平面PDC的距離為點O到平面PDC距離的2倍

又=()，

∴cos∠OED=cos〈,〉==-,

所以點B到平面PDC的距離

d=3||sin∠OEC=2×