Question

【題目】設(shè)函數(shù)， 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

（1）若函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，求實(shí)數(shù)， 的值；

（2）當(dāng)時(shí)，若存在， ，使成立，求實(shí)數(shù)的最小值.

Answer 1

【答案】（1）， ;（2）.

【解析】【試題分析】（1）先依據(jù)題設(shè)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義建立方程求解；（2）先不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化與化歸，再夠 造函數(shù)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)分析求解：

（1）由已知得， ， ，

則，且，解之得， .

（2）當(dāng)時(shí)， .

又 = .

故當(dāng)，即時(shí)， .

“存在， 使成立”等價(jià)于“當(dāng)時(shí)，有”，

又當(dāng)時(shí)， ， ，

問(wèn)題等價(jià)于“當(dāng)時(shí)，有”.

當(dāng)時(shí)， 在上為減函數(shù)，則 .

故；

②當(dāng)時(shí)， 在上的值域?yàn)?/span>.

（i）當(dāng)，即時(shí)， 在上恒成立，故在上為增函數(shù)，

于是 ，不合題意；

（ii）當(dāng)，即時(shí)，由的單調(diào)性和值域知.

存在唯一，使，且滿足

當(dāng)時(shí)， ， 為減函數(shù)；

當(dāng)時(shí)， ， 為增函數(shù).

所以 ， .

所以 ，與矛盾.

綜上，得的最小值為.