Question

【題目】設(shè)函數(shù)是定義在上的函數(shù)，并且滿足下面三個(gè)條件：①對(duì)任意正數(shù)，都有；②當(dāng)時(shí)， ；③.

（1）求， 的值；

（2）證明在上是減函數(shù)；

（3）如果不等式成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）見解析; （Ⅲ））.

【解析】試題分析：（1）利用賦值法，求、的值．
（2）利用單調(diào)性的定義，結(jié)合抽象函數(shù)之間的數(shù)值關(guān)系進(jìn)行證明．
（3）利用函數(shù)的單調(diào)性將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，解不等式即可．

試題解析：

（Ⅰ）令易得．

而，

且，得．

（Ⅱ）

∴

∴在上為減函數(shù)．

（Ⅲ）由條件（1）及（Ⅰ）的結(jié)果得： ，其中，

由（Ⅱ）得： ，解得的范圍是）

點(diǎn)晴：本題屬于對(duì)函數(shù)單調(diào)性的證明和單調(diào)性應(yīng)用的考察，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則時(shí)，有，事實(shí)上，若,則，這與矛盾，類似地，若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則當(dāng)時(shí)有；據(jù)此可以解不等式，由數(shù)值的大小，根據(jù)單調(diào)性就可以得自變量的大小關(guān)系.