Question

（本小題滿分13分）

已知函數(shù)

(Ⅰ)求函數(shù)在點處的切線方程；

(Ⅱ)求函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間；

(Ⅲ)若存在,使得是自然對數(shù)的底數(shù)),求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ）;（Ⅱ）；（Ⅲ）.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及直線的點斜式方程，即可求出切線方程；(Ⅱ)由（Ⅰ）,.令，則所以當(dāng)時, 在上是增函數(shù)又,所以不等式的解集為，故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為；（Ⅲ）因為存在,使得成立,而當(dāng)時,, 所以只要即可.根據(jù)導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，可知在上是減函數(shù),在上是增函數(shù),所以當(dāng)時,的最小值 ,的最大值為和中的最大值，然后再作差，再根據(jù)不等式的性質(zhì)和分離參數(shù)法，即可求出結(jié)果.

試題解析：【解析】
（Ⅰ）因為函數(shù),

所以,,

又因為,所以函數(shù)在點處的切線方程為 3分

(Ⅱ)由⑴,.

令，則

所以當(dāng)時, 在上是增函數(shù) 5分

又,所以不等式的解集為

故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為 8分

（Ⅲ）因為存在,使得成立,

而當(dāng)時,,

所以只要即可. 9分

又因為,,的變化情況如下表所示:

	減函數(shù)	極小值	增函數(shù)

所以在上是減函數(shù),在上是增函數(shù),所以當(dāng)時,的最小值 ,的最大值為和中的最大值

因為,

令,因為,

所以在上是增函數(shù).

而,故當(dāng)時,,即;

當(dāng)時,,即.

所以,當(dāng)時,,即,函數(shù)在上是增函數(shù),解得 11分

當(dāng)時,,即,函數(shù)在上是減函數(shù),解得. 12分

綜上可知,所求的取值范圍為 13分.

考點：1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義；2.導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用；3.導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)最值中的應(yīng)用.