Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）若直線是函數(shù)圖象的切線，求的最小值；

（3）當(dāng)時(shí)，若直線是函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1） （2） （3）

【解析】

（1）令，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)討論單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為，，求參數(shù)的取值范圍；

（2）設(shè)切點(diǎn)，寫(xiě)出切線方程，得，利用函數(shù)單調(diào)性求解；

（3）令，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上有兩個(gè)零點(diǎn)，求參數(shù)的取值范圍.

解：（1）由，得，則

，

因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞增，所以，，，

即，，令，在上單調(diào)遞增，且能取到上一切實(shí)數(shù)，所以，故實(shí)數(shù)的取值范圍為．

（2）設(shè)切點(diǎn)為，則切線方程為，

因?yàn)橹本�是函數(shù)圖象的切線，

所以，，所以，

令， ，則

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，所以．

所以的最小值為．

（3）當(dāng)時(shí)，令，則．

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，在上至多一個(gè)零點(diǎn)，

故．令方程的大根為，則．

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減．

因?yàn)?/span>在上有兩個(gè)零點(diǎn)，所以，

解得（構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性求解），

所以．

取，則，

根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，在上至少有一個(gè)零點(diǎn)，又在上單調(diào)遞增，

所以在上只有一個(gè)零點(diǎn)．

同理，在上只有一個(gè)零點(diǎn)．

綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.