Question

【題目】設(shè)，對于項數(shù)為的有窮數(shù)列，令為中最大值，稱數(shù)列為數(shù)列的“創(chuàng)新數(shù)列”.例如數(shù)列3，5，4，7的創(chuàng)新數(shù)列為3，5，5，7. 考查正整數(shù)1，2，…，的所有排列，將每種排列都視為一個有窮數(shù)列.

（1）若，寫出創(chuàng)新數(shù)列為3，4，4，4的所有數(shù)列；

（2）是否存在數(shù)列的創(chuàng)新數(shù)列為等比數(shù)列？若存在，求出符合條件的的創(chuàng)新數(shù)列；若不存在，請說明理由.

（3）是否存在數(shù)列，使它的創(chuàng)新數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，求出滿足所有條件的數(shù)列的個數(shù)；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）3，4，1，2和3，4，2，1，（2）存在，，（3）有個

【解析】

（1）先閱讀題意，再求出數(shù)列即可得解；

（2）先假設(shè)存在數(shù)列的創(chuàng)新數(shù)列為等比數(shù)列，再由創(chuàng)新數(shù)列的定義求解即可；

（3）先假設(shè)存在數(shù)列的創(chuàng)新數(shù)列為等差數(shù)列，再由創(chuàng)新數(shù)列的定義分類討論等差數(shù)列的公差求解即可.

解：（1）由題意可得：第一個數(shù)為3，第二個數(shù)為4，第三個與第四個數(shù)分別為1與2的排列即可，即數(shù)列有兩個：3，4，1，2和3，4，2，1；

（2）存在數(shù)列的創(chuàng)新數(shù)列為等比數(shù)列，

理由如下：

設(shè)數(shù)列的創(chuàng)新數(shù)列為，

若為等比數(shù)列，設(shè)公比是，因為，所以，

當時，為常數(shù)列，滿足條件，即創(chuàng)新數(shù)列為；

當時，為增數(shù)列，符合條件的數(shù)列只有1，2，，

又1，2，，不是等比數(shù)列；

綜上可得符合條件的創(chuàng)新數(shù)列只有一個；

（3）存在數(shù)列，使它的創(chuàng)新數(shù)列為等差數(shù)列，

理由如下：

若為等差數(shù)列，設(shè)公差是，因為，

所以且，

當時，為常數(shù)列，滿足條件，即創(chuàng)新數(shù)列為；

此時數(shù)列是首項為的任意一個排列，共有個排列，

當時，為增數(shù)列，符合條件的數(shù)列只有1，2，，

此時數(shù)列是1，2，，只有一個；

當時，與矛盾，此時不存在；

所以滿足條件的數(shù)列的個數(shù)為個.