Question

6．在數列{a_n}中，a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=$\frac{3{a}_{n}}{{a}_{n}+3}$，求a₂、a₃、a₄的值，由此猜想數列{a_n}的通項公式，并證明你的猜想．

Answer 1

分析 求出數列的前幾項，猜想通項公式，然后利用數學歸納法證明步驟證明即可．

解答 解：a₁=$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{6}$，a₂=$\frac{3}{7}$，a₃=$\frac{3}{8}$，a₄=$\frac{3}{9}$，
猜想a_n=$\frac{3}{n+5}$，下面用數學歸納法證明：
①當n=1時，a₁=$\frac{3}{1+5}$=$\frac{1}{2}$，猜想成立．
②假設當n=k（k≥1，k∈N^*）時猜想成立，
即a_k=$\frac{3}{k+5}$．則當n=k+1時，
a_k+1=$\frac{3{a}_{k}}{{a}_{k}+3}$=$\frac{3•\frac{3}{k+5}}{\frac{3}{k+5}+3}$=$\frac{3}{（k+1）+5}$，
所以當n=k+1時猜想也成立，
由①②知，對n∈N^*，a_n=$\frac{3}{n+5}$都成立

點評 本題考查數學歸納法法應用，考查邏輯推理能力以及計算能力．