Question

15．已知數(shù)列{a_n}的各項均為正數(shù)，b_n=n（1+$\frac{1}{n}$）ⁿa_n（n∈N₊），e為自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）求函數(shù)f（x）=1+x-e^x的單調(diào)區(qū)間，并比較（1+$\frac{1}{n}$）ⁿ與e的大�。�
（2）計算$\frac{_{1}}{{a}_{1}}$，$\frac{_{1}_{2}}{{a}_{1}{a}_{2}}$，$\frac{_{1}{_{2}b}_{3}}{{a}_{1}{a}_{2}{a}_{3}}$，由此推測計算$\frac{_{1}_{2}…_{n}}{{a}_{1}{a}_{2}…{a}_{n}}$的公式，并給出證明；
（3）令c_n=（a₁a₂…a_n）${\;}^{\frac{1}{n}}$，數(shù)列{a_n}，{c_n}的前n項和分別記為S_n，T_n，證明：T_n＜eS_n．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的定義域，利用導(dǎo)數(shù)求其最大值，得到1+x＜e^x．取x=$\frac{1}{n}$即可得到答案；
（2）由b_n=n（1+$\frac{1}{n}$）ⁿa_n（n∈N₊），變形求得$\frac{_{1}}{{a}_{1}}$，$\frac{_{1}_{2}}{{a}_{1}{a}_{2}}$，$\frac{_{1}{_{2}b}_{3}}{{a}_{1}{a}_{2}{a}_{3}}$，由此推測$\frac{_{1}_{2}…_{n}}{{a}_{1}{a}_{2}…{a}_{n}}$=（n+1）ⁿ．然后利用數(shù)學(xué)歸納法證明．
（3）由c_n的定義、$\frac{_{1}_{2}…_{n}}{{a}_{1}{a}_{2}…{a}_{n}}$=（n+1）ⁿ、算術(shù)-幾何平均不等式、b_n的定義及$（1+\frac{1}{n}）^{n}＜e$，利用放縮法證得T_n＜eS_n．

解答 （1）解：f（x）的定義域為（-∞，+∞），f′（x）=1-e^x．
當(dāng)f′（x）＞0，即x＜0時，f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)f′（x）＜0，即x＞0時，f（x）單調(diào)遞減．
故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，0），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，+∞）．
當(dāng)x＞0時，f（x）＜f（0）=0，即1+x＜e^x．
令$x=\frac{1}{n}$，得$1+\frac{1}{n}＜{e}^{\frac{1}{n}}$，即$（1+\frac{1}{n}）^{n}＜e$．①
（2）解：$\frac{_{1}}{{a}_{1}}=1•（1+\frac{1}{1}）^{1}=1+1=2$；$\frac{_{1}_{2}}{{a}_{1}{a}_{2}}=\frac{_{1}}{{a}_{1}}•\frac{_{2}}{{a}_{2}}$=$2•2（1+\frac{1}{2}）^{2}=（2+1）^{2}={3}^{2}$；
$\frac{_{1}_{2}_{3}}{{a}_{1}{a}_{2}{a}_{3}}=\frac{_{1}_{2}}{{a}_{1}{a}_{2}}•\frac{_{3}}{{a}_{3}}={3}^{2}•3（1+\frac{1}{3}）^{3}=（3+1）^{3}={4}^{3}$．
由此推測：$\frac{_{1}_{2}…_{n}}{{a}_{1}{a}_{2}…{a}_{n}}$=（n+1）ⁿ．②
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明②．
（1）當(dāng)n=1時，左邊=右邊=2，②成立．
（2）假設(shè)當(dāng)n=k時，②成立，即$\frac{_{1}_{2}…_{k}}{{a}_{1}{a}_{2}…{a}_{k}}=（k+1）^{k}$．
當(dāng)n=k+1時，$_{k+1}=（k+1）（1+\frac{1}{k+1}）^{k+1}{a}_{k+1}$，由歸納假設(shè)可得
$\frac{_{1}_{2}…_{k}_{k+1}}{{a}_{1}{a}_{2}…{a}_{k}{a}_{k+1}}=\frac{_{1}_{2}…_{k}}{{a}_{1}{a}_{2}…{a}_{k}}•\frac{_{k+1}}{{a}_{k+1}}$=$（k+1）^{k}（k+1）（1+\frac{1}{k+1}）^{k+1}=（k+2）^{k+1}$．
∴當(dāng)n=k+1時，②也成立．
根據(jù)（1）（2），可知②對一切正整數(shù)n都成立．
（3）證明：由c_n的定義，②，算術(shù)-幾何平均不等式，b_n的定義及①得
T_n=c₁+c₂+…+c_n=$（{a}_{1}）^{\frac{1}{1}}+（{a}_{1}{a}_{2}）^{\frac{1}{2}}+（{a}_{1}{a}_{2}{a}_{3}）^{\frac{1}{3}}+…+（{a}_{1}{a}_{2}…{a}_{n}）^{\frac{1}{n}}$
=$\frac{（_{1}）^{\frac{1}{1}}}{2}+\frac{（_{1}_{2}）^{\frac{1}{2}}}{3}+\frac{（_{1}_{2}_{3}）^{\frac{1}{3}}}{4}+…+$$\frac{（_{1}_{2}…_{n}）^{\frac{1}{n}}}{n+1}$
$≤\frac{_{1}}{1×2}+\frac{_{1}+_{2}}{2×3}+\frac{_{1}+_{2}+_{3}}{3×4}+…+\frac{_{1}+_{2}+…+_{n}}{n（n+1）}$
=$_{1}[\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+…+\frac{1}{n（n+1）}]$$+_{2}[\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{n（n+1）}]$$+…+_{n}•\frac{1}{n（n+1）}$
=$_{1}（1-\frac{1}{n+1}）+_{2}（\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}）+…+_{n}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$
$＜\frac{_{1}}{1}+\frac{_{2}}{2}+…+\frac{_{n}}{n}$=$（1+\frac{1}{1}）^{1}{a}_{1}+（1+\frac{1}{2}）^{2}{a}_{2}+…+（1+\frac{1}{n}）^{n}{a}_{n}$
＜ea₁+ea₂+…+ea_n=eS_n．
即T_n＜eS_n．

點(diǎn)評 本題主要考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用，考查利用歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的問題，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、創(chuàng)新知識，考查了利用放縮法法證明數(shù)列不等式，是壓軸題．