Question

7．已知函數(shù)f（x）=x-alnx（a∈R）．
（1）當a=2時，求曲線f（x）在x=1處的切線方程；
（2）設函數(shù)h（x）=f（x）+$\frac{1+a}{x}$，求函數(shù)h（x）的單調區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）欲求在點x=1處的切線方程，只須求出其斜率的值即可，故先利用導數(shù)求出在x=1處的導函數(shù)值，再結合導數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率；
（2）先求出h（x）的導數(shù)，根據(jù)h′（x）＞0求得的區(qū)間是單調增區(qū)間，h′（x）＜0求得的區(qū)間是單調減區(qū)間，從而問題解決．

解答 解：（1）∵當a=2時，f（x）=x-2lnx（a∈R），
∴f′（x）=1-$\frac{2}{x}$，
∴f′（1）=-1，
∵f（1）=1，
∴曲線f（x）在x=1處的切線方程為y-1=-（x-1），即x+y-2=0；
（2）∵h（x）=f（x）+$\frac{1+a}{x}$，
∴h′（x）=$\frac{（x+1）[x-（1+a）]}{{x}^{2}}$，
∴a＞-2時，h′（x）＞0，可得x＜-1或x＞1+a，h′（x）＜0，可得-1＜x＜1+a，
∴函數(shù)的單調增區(qū)間是（-∞，-1），（1+a，+∞）；單調減區(qū)間是（-1，1+a）；
a=-2時，h′（x）≥0，∴函數(shù)的單調增區(qū)間是（0，+∞）；
a＜-2時，h′（x）＞0，可得x＜1+a或x＞-1，h′（x）＜0，可得1+a＜x＜-1，
∴函數(shù)的單調增區(qū)間是（0，1+a），（-1，+∞）；單調減區(qū)間是（1+a，-1）．

點評 本小題主要考查直線的斜率、導數(shù)的幾何意義、利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程等基礎知識，考查運算求解能力及分類討論思想．屬于中檔題．