Question

1．設(shè)f（x）=$\frac{ex}{1+a{x}^{2}}$，其中a為正實(shí)數(shù)．
（1）若x=$\frac{1}{3}$是f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，求a的值
（2當(dāng)a=$\frac{4}{3}$時(shí)，求f（x）的極值點(diǎn)；
（3）若f（x）為R上的單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)為0，求出a 值即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的方程，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的極值點(diǎn)即可；
（3）通過導(dǎo)數(shù)符號不變號，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的判別式恒成立問題，求解即可．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{e（1-{ax}^{2}）}{{（1+{ax}^{2}）}^{2}}$，
若x=$\frac{1}{3}$是f（x）的極值點(diǎn)，
則f′（$\frac{1}{3}$）=0，即1-$\frac{1}{9}$a=0，解得：a=9，
經(jīng)檢驗(yàn)a=9符合題意；
（2）a=$\frac{4}{3}$時(shí)，f′（x）=$\frac{e（1{-\frac{4}{3}x}^{2}）}{{（1+{\frac{4}{3}x}^{2}）}^{2}}$，
令f′（x）=0，即1-$\frac{4}{3}$x²=0，解得：x=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
令f′（x）＞0，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜x＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$，令f′（x）＜0，解得：x＞$\frac{\sqrt{3}}{2}$或x＜-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故f（x）在（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）遞減，在（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）遞增，在（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，+∞）遞減，
故-$\frac{\sqrt{3}}{2}$是極小值點(diǎn)，$\frac{\sqrt{3}}{2}$是極大值點(diǎn)；
（2）若f（x）為R上的單調(diào)函數(shù)，則f′（x）在R上不變號．
結(jié)合（1）與條件a＞0，知ax²-2ax+1≥0在R上恒成立，
由△=4a²-4a=4a（a-1）≤0，得0＜a≤1．即實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，1]．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的最值，以及函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)恒成立的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．