Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）當(dāng)時(shí)，求的最小值；

（2）當(dāng)時(shí)，若存在，使得對(duì)任意的，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析 （2）

【解析】

（1）求出，分三種情況討論的范圍，在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間，根據(jù)單調(diào)性；（2）存在，使得對(duì)任意的都有恒成立，等價(jià)于，分別利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，并求出的最小值，解不等式即可得結(jié)果.

（1）因?yàn)?/span>的定義域?yàn)?/span>， .

①當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，，所以在上為增函數(shù)，；

②當(dāng)時(shí)，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，；

③當(dāng)時(shí)，在上為減函數(shù)， .

（2）當(dāng)時(shí)，若存在，使得對(duì)任意的都有恒成立，

則.

由（1）知，當(dāng)時(shí)， .

因?yàn)?/span>，令，則，

令，得；令，得，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，所以在上單調(diào)遞增.

所以，則，

解得，又，，

所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.