Question

【題目】四棱錐中，底面為直角梯形，，，，平面，，為中點.

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)見證明；(2)

【解析】

（1）在中，由余弦定理，，又，，得到，，

由線面垂直的判定定理，得平面，進而利用面面垂直的判定定理，證得平面平面.

（2）以為原點，，，為，，軸，建立空間直角坐標系，求得平面的法向量為和平面平面的一個法向量為，利用向量的夾角公式，即可求解.

（1）在直角梯形中，，，

在中，由余弦定理，，又，，

有，是等腰三角形，所以，，

由線面垂直的判定定理，得平面，

又由面面垂直的判定定理，即可得到平面平面.

（2）以為原點，，，為，，軸，建立空間直角坐標系，

則，，，，，

有，，，

令平面的法向量為，由，可得一個，

由（1）可知平面的一個法向量為，

所以,

所以二面角的余弦值為.