Question

【題目】已知拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于不同的兩點(diǎn)，直線(xiàn)與直線(xiàn)交于點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與直線(xiàn)垂直的直線(xiàn)交軸于點(diǎn).

（1）求拋物線(xiàn)的方程和焦點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）判斷直線(xiàn)與直線(xiàn)的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）拋物線(xiàn)方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2）；詳見(jiàn)解析

【解析】

（1）由拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，代入拋物線(xiàn)解析式計(jì)算可得；

（2）設(shè)，設(shè)直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立方程消元，列出韋達(dá)定理，表示出、的坐標(biāo)，再對(duì)和分類(lèi)討論計(jì)算可得；

解：（1）因?yàn)閽佄锞�(xiàn)過(guò)點(diǎn)，

所以

即拋物線(xiàn)方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為

（2）直線(xiàn).

設(shè)，設(shè)直線(xiàn)的方程為

聯(lián)立方程，消元得，

所以，

顯然，

直線(xiàn)的方程為，令，則，則

因?yàn)?/span>，所以

直線(xiàn)的方程為

令，則，則

當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)的斜率不存在，，可知，

直線(xiàn)的斜率不存在，則

當(dāng)時(shí)，，

則，綜上所述，.