Question

2．如圖，已知AD為半圓O的直徑，AB為半圓O的切線，割線BMN交AD的延長線于點C，且BM=MN=NC，AB=2$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求圓心O到割線BMN的距離；
（Ⅱ）求CD的長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設BM=x（x＞0），則由切割線定理解得x=2，由勾股定理可得AC，過O作OP⊥MN于P，通過△ABC∽△POC，求出OP，得到圓心O到割線BMN的距離．
（Ⅱ）連結OM，在Rt△OPM中，求出OM，得到圓O的直徑AD為$\frac{10\sqrt{7}}{7}$，從而求出CD的長．

解答 解：（Ⅰ）設BM=x（x＞0），則由切割線定理可得BA²=BM•BN，又BM=MN=NC，
則（2$\sqrt{2}$）²=x（x+x），解得x=2，從而BC，
=6，由勾股定理可得AC=$\sqrt{{6}^{2}-{（2\sqrt{2}）}^{2}}$=2$\sqrt{7}$．
過O作OP⊥MN于P，則CP=3，易證△ABC∽△POC，則$\frac{OP}{AB}=\frac{CP}{CA}$，所以OP=$\frac{AB•CP}{CA}$=$\frac{2\sqrt{2}×3}{2\sqrt{7}}$=$\frac{3\sqrt{14}}{7}$．
圓心O到割線BMN的距離：$\frac{3\sqrt{14}}{7}$．
（Ⅱ）連結OM，在Rt△OPM中，OM=$\sqrt{{OP}^{2}+{PM}^{2}}$=$\frac{5\sqrt{7}}{7}$．
即圓O的直徑AD為$\frac{10\sqrt{7}}{7}$，從而CD的長為：2$\sqrt{7}$-$\frac{10\sqrt{7}}{7}$=$\frac{4\sqrt{7}}{7}$．

點評 本題考查推理與證明，直線與圓相交的性質的應用，考查切割線定理以及勾股定理的應用．