Question

【題目】已知函數(shù)．

(1)若是函數(shù)的極值點，求曲線在點處的切線方程；

(2)若函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù)，求的取值范圍；

(3)設為正實數(shù)，且，求證： ．

Answer 1

【答案】(1) ；（2）；（3）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）求出導數(shù)，由題意可得代入可得，可得切線的斜率和切點，進而得到切線的方程；（2）由函數(shù)在上為增函數(shù)，可得恒成立，既有，當時， ，求得右邊函數(shù)的最小值，即可得到范圍；（3）運用分析法證明，要證，只需證，即證，設，求出導數(shù)判斷單調(diào)性，運用單調(diào)遞增，即可得證.

試題解析：（1）

由題意知，代入得，經(jīng)檢驗，符合題意.

從而切線斜率 ，切點為，

切線方程為

（2） 因為上為單調(diào)增函數(shù)，所以上恒成立. 即在上恒成立，當時，由，得，設，所以當且僅當，即時， 有最小值， 所以的取值范圍是

（3）要證，只需證，

即證只需證

設，由（2）知在上是單調(diào)函數(shù)，又，

所以，即成立，所以.

【方法點晴】本題主要考查利用導數(shù)求曲線切線以及利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、證明不等式，屬于難題.求曲線切線方程的一般步驟是：（1）求出在處的導數(shù)，即在點 出的切線斜率（當曲線在處的切線與軸平行時，在 處導數(shù)不存在，切線方程為）；（2）由點斜式求得切線方程.